Двойной интеграл от функции |ln(x)−ln(y)|∙exp(−(x+y)) по области {(x, y): x≥0, y≥0} // Сергей Фролов / Математический мирок

Найти двойной интеграл от функции |ln(x)−ln(y)|∙exp(−(x y)) по области {(x, y): x≥0, y≥0}? Данный двойной интеграл является несобственным, поскольку его область интегрирования неограничена. Кроме того, при фиксированной одной переменной предел подынтегральной функции при устремлении второй переменной к нулю равен плюс бесконечности. А в начале координат функция не имеет предела. Идея решения заключается в переходе в двойном интеграле от декартовых координат к полярным. Предварительно замечаем, что подынтегральная функция симметрична по своим переменным. Это означает, что поверхность, являющаяся её графиком, симметрична относительно плоскости x=y. Таким образом, исходный интеграл равен удвоенному интегралу по области, ограниченной прямыми y=0 (x≥0) и y=x. В повторном интеграле вычисляем сначала внутренний интеграл, а затем — внешний. При нахождении интегралов используем замены переменных и интегрирование по частям. Для нахождения пределов прибегаем к правилу Лопиталя. Задача была предложена на Санкт-Петербургской городской олимпиаде среди студентов технических вузов в 2008 году.