Задача об улитке, ползущей по растягивающемуся резиновому жгуту // Сергей Фролов / Математический мирок

На столе лежит резиновый жгут длиной l₀=1м. Начало жгута закреплено, а его конец свободен. В начале жгута расположена улитка, которая в нулевой момент времени начинает ползти по жгуту в направлении его конца. Собственная скорость улитки постоянна и равна v₁=1см/c. Кто-то берётся рукой за конец жгута и одновременно с началом движения улитки начинает растягивать жгут. Сила растяжения жгута в любой момент времени параллельна самому жгуту. Жгут растягивается с постоянной скоростью v₂=2см/c. Сможет ли улитка за конечное время добраться до конца жгута? Если сможет, то сколько времени ей для этого понадобится? Будем работать с математической моделью описанного в условии эксперимента. В рамках этой модели жгут представлен тонкой растяжимой нитью нулевой толщины, а улитка — точкой, передвигающейся по этой нити. Для получения ответов на поставленные вопросы построим уравнение движение улитки, т. е. зададимся целью найти функцию x(t) — координату улитки в момент времени t. Система координат будет состоять из единственной оси Ox, проходящей через жгут. Начало координат будет совпадать с началом жгута, а конец жгута будет иметь положительную абсциссу. С целью нахождения x(t) составим задачу Коши относительно данной функции для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием x(0)=0. В результате решения задачи получаем искомую функцию. Остаётся лишь выяснить, существует ли такой момент времени, в который координата улитки совпадёт с длиной жгута, а если существует, то чему он равен. Имея в распоряжении функцию x(t), ответить на этот вопрос уже несложно.