2023-12-07, Цапко Екатерина Дмитриевна

Эффективные стратегии для численного решения сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений Цапко Екатерина Дмитриевна В докладе автор представит результаты своей диссертационной работы, посвященной разработке численных методов для решения сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Центральная тема доклада - преодоление ограничений существующих численных методов, особенно при решении жестких задач, где традиционные подходы либо требуют значительного увеличения времени расчета, либо оказываются недостаточно эффективными. Автор предлагает модификацию метода продолжения решения по наилучшему аргументу, которая обеспечивает более высокую точность и эффективность в решении жестких и сверхжестких задач. В докладе рассмотрено математическое моделирование ряда тестовых и прикладных жестких задач. В качестве тестовых задач рассмотрены степенной и экспоненциальные тесты, предложенные в работах Н.Н. Калиткина и А.А. Белова. Вычислительный эксперимент показывает, что при степенной скорости роста наилучший аргумент, отсчитываемый по касательной вдоль интегральной кривой рассматриваемой задачи, эффективен. Однако при сверх степенной или экспоненциальной скорости роста он таковым не является. Предложенная автором модификация направлена на снижение жесткости таких задач. На тестовых задачах и прикладной задаче о сверхзвуковом течении в канале переменного сечения продемонстрированы преимущества и недостатки нового подхода. Особое внимание уделено теоретическим аспектам метода, а именно анализу устойчивости явного метода Эйлера для задачи, преобразованной к модифицированному наилучшему аргументу. Это позволит глубже понять принципы работы метода и его применение в различных областях научного исследования. Разработанная вычислительная программа для ЭВМ получила государственную регистрацию: «Численное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью модифицированного наилучшего параметра». Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022610641, г. Efficient strategies for numerical solution of singularly perturbed ordinary differential equations Ekaterina Tsapko In the seminar the author will present the results of her dissertation work devoted to the development of numerical methods for solving singularly perturbed initial and boundary value problems for systems of differential equations. The central theme of the paper is overcoming the limitations of existing numerical methods, especially in solving stiff problems where traditional approaches either require a significant increase in computation time or prove to be insufficiently efficient. The author proposes a modification of the solution continuation method with respect to the best argument, which provides higher accuracy and efficiency in solving stiff and ultra-stiff problems. The work includes mathematical modeling of a number of test and applied stiff problems. As test problems the power-law and exponential growth tests proposed in the works by N.N. Kalitkin and A.A. Belov are considered. The computational experiment shows that at a power rate of growth the best argument, measured by the tangent along the integral curve of the considered problem, is effective. However, at the rate higher than the power rate of growth or exponential growth rate it is not. The modification proposed by the author is aimed at reducing the stiffness of such problems. The advantages and disadvantages of the new approach are shown on test problems and an applied problem of supersonic flow in a channel of variable cross-section. Particular attention is devoted to the theoretical aspects of the method, namely, the stability analysis of the explicit Euler method for the problem transformed to the best modified argument. This will provide a deeper understanding of the working principles of the method and its application in various fields of scientific research.