Функциональная дифференциальная геометрия. Чтение 23. Тензоры

Ещё раз вычисляем преобразование форм Картана необходимое для сохранения ковариантной производной при смене базиса. Отмечаем, что формы Картана, описывающие одну и ту же ковариантную производную в разных базисах, преобразуются нелинейно, поэтому они не являются тензорным полем. Но что такое тензор? Обсуждаем важность для физики геометрических объектов и функций — не зависящих от конкретных координатных представлений сущностей. Даём определение тензору, как геометрической функции от форм и векторных полей линейной по каждому аргументу (форма - частный случай тензора). Выводим преобразование координатного представления тензора при смене базиса. Прямым символьным вычислением проверяем, что тензор Римана - на самом деле тензор. #геометрия и #lisp 1P.S. Сталкиваемся с переполнением памяти при попытке проверить геометричность некоторой функции. А всё почему? А потому что по-умолчанию виртуальная машина MIT Scheme ограничена 16 мегабайтами кучи 4 килобайтами стека. Впечатляет, как далеко мы зашли на таких скудных ресурсах: мы успели позаниматься численным решением двумерных диффуров. К вопросу об эффективности... Я не был бы собой, если бы не отметил, что не всякая гораздо более скромная по сравнению с SCMUtils программа на #rust влезет в 16 мегабайтов. 2P.S. Путано сказано о формах Картана и их связи с базисом. Точнее нужно сказать так. Формы Картана описывают ковариантную производную в конкретном базисе. При смене базиса для описания той же ковариантной производной нужны другие формы Картана. Задающие одну и ту же производную в разных базисах формы Картана связаны нелинейно, в частности нулевая форма Картана при переходе в другой базис может стать ненулевой. Поэтому формы Картана не являются тензором.