Функциональная дифференциальная геометрия. Чтение 24. Производная кружочка в направлении стрелочки

До сих пор нельзя просто так взять и перенести палочку параллельно самой себе вдоль траектории на многообразии. Параллельный перенос окажется ковариантной производной над отображением, описывающим интересующую нас траекторию. Поэтому, продираясь через баги и опечатки, мы продолжаем интимное знакомство с наблой. #геометрия и #lisp Используя ковариантную производную, строим геометрическую функцию от форм и полей, которая не является тензором. Убеждаемся в этом прямым вычислением. Обсуждаем причину нелинейности ковариантной производной в её аргументе. Вычисляем в двумерной прямоугольной системе координат (x, y) ковариантную производную в направлении d/dx (базисное координатное векторное поле) “кругового“ поля [x * d/dy - y * d/dx], задающего движение по окружностям. Производной будет поле d/dy, которое описывает изменение структуры “кругового“ поля при бесконечно малом шаге в направлении d/dx. В полярной системе координат (r, θ) “круговое“ поле - это d/dθ, и мы вычисляем ковариантную производную этого поля в направлении d/dx в этой полярной системе координат тоже. Видим, что от смены координат результат не изменился. Это добавляет нам уверенности в том, что ковариантная производная - действительно геометрическая функция.