p-адические числа. Семинар 4 // Константин Шрамов / ЛШСМ 2023

Поле вещественных чисел можно построить, пополнив поле рациональных чисел, то есть добавив к нему пределы всех последовательностей, которые «должны бы» сходиться. Оказывается, эту процедуру можно провести не единственным способом. Более того, для каждого простого числа p есть способ выбрать свой класс сходящихся последовательностей, пределы которых будут образовывать так называемое поле p-адических чисел, являющееся пополнением поля рациональных чисел. Цель курса — обсудить конструкцию этих полей и их основные свойства. В качестве приложений мы докажем теорему Г. Минковского о том, что группа всех обратимых целочисленных матриц размера N×N содержит только конечное количество конечных подгрупп с точностью до изоморфизма, и теорему П. Монского о том, что квадрат нельзя разрезать на нечётное число треугольников равной площади. От слушателей не требуется предварительных знаний за пределами основных понятий алгебры и математического анализа. Шрамов Константин Александрович — доктор физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 21-25 июля 2023 г.