Вариант #10 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2025| Математика Профиль

Начало – 00:00 Задача 1 – 02:55 В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC. Задача 2 – 06:21 Даны векторы a ⃗ (14;-2) и b ⃗ (5;-8). Найдите скалярное произведение a ⃗∙b ⃗. Задача 3 – 08:15 Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 16. Найдите его объём. Задача 4 – 12:27 Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Задача 5 – 14:04 Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3. Задача 6 – 19:12 Найдите корень уравнения (x 9)^2=36x. Задача 7 – 20:50 Найдите значение выражения √108 cos^2 π/12-√27. Задача 8 – 23:33 На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10. В скольких из этих точек функция f(x) положительна? Задача 9 – 27:00 Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 494 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле v=c∙(f-f_0)/(f f_0 ), где c=1500 м/с – скорость звука в воде, f_0 – частота испускаемых импульсов, f – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 18 м/с. Задача 10 – 30:43 Первый насос наполняет бак за 1 час, второй — за 1 час 30 минут, а третий — за 1 час 48 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно? Задача 11 – 37:35 На рисунке изображён график функции вида f(x)=ax^2 bx c, где числа a, b и c- целые. Найдите значение f(-12). Задача 12 – 44:58 Найдите наибольшее значение функции y=x^5 20x^3-65x на отрезке [-4;0]. Задача 13 – 50:48 а) Решите уравнение √(x^3-5x^2-9x 22)=4-x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-√2/2;2√10]. Разбор ошибок 13 – 01:00:40 Задача 15 – 01:08:15 Решите неравенство (log_3⁡(3-x)-log_3⁡(x 2))/(log_3^2 (x)^2 log_3⁡〖(x)^4 〗 1)≥0. Разбор ошибок 15 – 01:22:25 Задача 16 – 01:31:22 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Задача 18 – 01:45:25 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (tg⁡x 6)^2-(a^2 2a 8)(tg⁡x 6) a^2 (2a 8)=0 имеет на отрезке [0;3π/2] ровно два решения. Задача 19 – 02:00:38 Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? Задача 17 – 02:10:24 В треугольник ABC с углом A равным 60° вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке M. а) Докажите, что AM не больше утроенного радиуса вписанной окружности. б) Найдите синус большего из углов BAM и CAM, если AM равно 2,5 радиусам вписанной окружности. Задача 14 – 02:24:40 В тетраэдре ABCD грани ABD и ACD являются правильными треугольниками со стороной равной 10 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах AB, AD, CD отмечены точки L, K и M, причём BK=2, AL=4 и DM=3. а) Докажите, что плоскость MLK перпендикулярна CD. б) Найдите длину отрезка, образованного пересечением плоскости MLK с гранью ABC.