Геометрия 8 класс (Урок№19 - Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.)

Видео на Дзен Геометрия 8 класс Урок№19 - Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Узнаем свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике, научимся применять теорему на практике. Теорема: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямоуго угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Дано: ∆ABC, ∠С=90°, CD⊥AB Доказать: ∆ACD ~ ∆ABC, ∆BCD ~ ∆BAC, ∆BCD ~ ∆CAD Доказательство: ∠А − общий угол, ∠АСВ = ∠ADC = 90°, следовательно, ∆ACD ~ ∆ABC ∠B – общий угол, ∠АСВ = ∠BDC = 90°, следовательно, ∆BCD ~ ∆BAC Заметим, что ∠САВ = ∠BСD ∠BDC = ∠ADC = 90°, ∠А = ∠BСD, следовательно ∆BCD ~ ∆CAD Отрезок MN называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками АВ и CD, если выполняется равенство для длин отрезков MN = √(AB ∙ CD) Пример: АВ = 5 см, CD = 125 см, MN = 25 см. Является ли отрезок MN средним пропорциональным между отрезками AB и CD? Решение: Воспользуемся равенством MN = √(AB ∙ CD) 25 = √(5 ∙ 125) 25 = √625 – верно, следовательно, отрезок MN является средним пропорциональным между отрезками AB и CD. Докажем утверждение: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Дано: ∆ABC, ∠С = 90°, CD⊥AB Доказать: CD = √(AD ∙ BD) Доказательство: ∆BCD ~ ∆CAD, поэтому AD/CD = CD/BD, следовательно, CD2 = AD ∙ BD, откуда CD = √(AD ∙ BD). Для прямоугольного треугольника верно еще одно утверждение: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы. Таким образом, в прямоугольном треугольнике выполняются равенства: CD = √(AD ∙ BD) AC = √(AB ∙ AD) или BC = √(AB ∙ BD)