Вероятность в комбинаторной геометрии. Семинар 2 // Андрей Райгородский / ЛШСМ 2024

Вероятность — это не только очень красивая наука, но и удивительный инструмент, помогающий решать задачи из, казалось бы, совсем не связанных с вероятностью областей. В данном курсе я хотел бы сделать упор на неожиданные применения вероятности в задачах комбинаторной геометрии. Например, мы рассмотрим следующую проблему, предложенную в середине 80-х годов ХХ века и до сих пор до конца не решенную. Пусть на плоскости дано множество A, состоящее из n точек в «общем положении», т.е. никакие 3 точки не лежат на одной прямой. Скажем, что три точки из множества A образуют пустой треугольник, если в этом треугольнике нет точек из А, отличных от вершин. Обозначим f(n) минимальное количество пустых треугольников, где минимум берется по всем множествам A указанного вида. Как найти или хотя бы оценить f(n)? Поможет вероятность! Есть и еще более трудные проблемы, которые можно попробовать успеть обсудить. Скажем, такова задача освещения границы выпуклого тела постоянной ширины. Курс доступен старшеклассникам. Райгородский Андрей Михайлович — доктор физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», 25-29 июля 2023 г.