Какую фигуру заметает “падающая лестница“? // Сергей Фролов / Математический Мирок

Отрезок единичной длины двигается таким образом, что его концы находятся на координатных осях (в первом координатном углу), и при этом закрашивает (всей своей длиной) часть плоскости, по которой двигается. Найдите уравнение линии, отделяющей закрашенную часть плоскости от незакрашенной. Задачу можно рассматривать как задачу нахождения уравнения границы фигуры, заметаемой “падающей лестницей“, представленной отрезком единичной длины, верхняя часть которой скользит по стене, не отрываясь от неё, а нижняя скользит по полу, не отрываясь от него, при условии, что в начальный момент времени лестница расположена строго вертикально, а в конечный — строго горизонтально. Понятно, что фигура ограничена двумя отрезками единичной длины, лежащими на координатных осях и расположенными под прямым углом, а также кривой, соединяющей несовпадающие концы этих отрезков. Сосредоточимся на нахождении уравнения именно этой кривой. В ходе решения задачи нам понадобятся как методы аналитической геометрии для построения уравнения прямой в отрезках, так и методы математического анализа, в частности, дифференциального исчисления, позволяющие проводить исследования функций на наличие точек экстремума, в частности, точек максимума. А ещё в ролике мы познакомимся с замечательной кривой — астроидой и увидим компьютерную анимацию, демонстрирующую процесс заметания фигуры “падающей лестницей“.