Wild Mathing #161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e(i)+1=0
🎯 Загружено автоматически через бота:
🚫 Оригинал видео:
📺 Данное видео является собственностью канала Wild Mathing. Оно представлено в нашем сообществе исключительно в информационных, научных, образовательных или культурных целях. Наше сообщество не утверждает никаких прав на данное видео. Пожалуйста, поддержите автора, посетив его оригинальный канал: @WildMathing.
✉️ Если у вас есть претензии к авторским правам на данное видео, пожалуйста, свяжитесь с нами по почте support@, и мы немедленно удалим его.
📃 Оригинальное описание:
Разбираемся, как устроена самая красивая формула в математике: формула Эйлера e^(iπ) 1=0.
УСКОРИТЬ ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ НОВОГО ВИДЕО:
ЗАДАЧНИК КО ВСЕМ РОЛИКАМ:
МОИ КУРСЫ:
VK:
Литература:
Зорич В.А. Математический анализ. Часть I – Изд. 8, испр. – М: МЦНМО, 2017.
UPD. На 5:25 во второй и третьей строках, пропущен квадрат у “игрека“ – не судите строго! Корректный кадр здесь:
БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО ПО ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
1. Как извлекать корни в столбик:
2. Логарифмическая линейка:
3. Числа Фибоначчи:
4. Что больше: e^π или π^e?
5. Математические анекдоты:
Привет! В этом ролике мы в рамках школьной программы постараемся разобраться с тем, что такое разложение функции в ряд Тейлора (ряд Маклорена) на примере экспоненты, посмотрим на графическую связь функций и степенных рядов. Ну а в финальной стадии разберемся с известным тождеством Эйлера, которое многие математики признают самым красивым из всех.
По ходу ролика упоминается немало различных теорем из курса математического анализа, если у вас есть желание разобраться со строгим доказательством использованных утверждений, можете обратиться к книге В.А.Зорича по математическому анализу. Если вам нравится математика — обязательно подпишитесь на этот канал: здесь есть, что посмотреть!
В надежде увидеть больше зрителей, разобравшихся в содержании ролика, резюмирую и пересказываю его текстом.
СУТЬ ВКРАТЦЕ.
Мы пытаемся понять, как работает формула Тейлора (ее частный случай — формула Маклорена) на примере функции f(x)=e^x: смысл в том, что многие функции, экспоненту в частности, удается представить в иной, более удобной в некоторых задачах, форме — с помощью степенного ряда. Далее, работая в этой удобной форме, совершаем несколько нехитрых преобразований и доказываем верность равенства e^(iπ) 1=0.
КОНКРЕТНЫЕ ШАГИ.
1. Воочию убедились в существовании таких полиномов, графики функций которых могут быть сколько угодно похожими на графики функций e^x, sinx и cosx [0:01].
2. Увидели формулы, которые позволяют получить такие волшебные полиномы [1:24].
3. Пробуем разобраться с этими формулами на примере экспоненты: мы ограничились нахождением первых пяти производных у f(x)=e^x и у g(x)=a bx cx² ....Дифференцируем f(x) — раз, затем полученную функцию еще раз, потом еще, еще и еще... , то же самое и с g(x) — последовательно находим производные [2:37].
4. Нашли значения всех этих производных и самих функций в точке x=0: подставили вместо “икс“ нолик в функции f(x) и g(x) [3:00].
3. Приравняли найденные значения (3-ий и 5-ый столбцы), тем самым нашли значения неизвестных коэффициентов a, b, c и т.д. [3:17].
5. Обобщив все это дело, получили разложение e^x в ряд, который называется рядом Маклорена. Можешь даже ставить ударение на “e“, не обижусь, главное, осознать посыл: если функции, упрощенно говоря, одинаковы, то не могут быть у них разные значения производных — тоже должны быть одинаковыми [4:27].
6. С помощью все той же формулы Маклорена можно получить разложения для sinx и cosx — это предлагаю сделать в качества упражнения. Итог показываю в момент [4:49].
7. Все три представленных разложения функций e^x, sinx, cosx верны для комплексных аргументов [5:09]. Почему — это отдельная история, ну а о комплексных числах кое-что рассказывал вот здесь:
8. Вместо z мы взяли iy для функции e^z: поскольку iy — тоже некоторый комплексный аргумент, то формулы (точнее определения) для наших функций все еще работают [5:18].
9. Сгруппировали слагаемые, и оказалось, что ряд для экспоненты от аргумента iy содержит в себе разложения для синуса и косинусов — получили тождество e^(iy)=cosy isiny [5:40]. Тут есть небольшие промахи в кадре — пропущены квадраты у игреков, исправил это здесь:
10. Взяли y=π, вспомнили, что cosπ=-1, sinπ=0. Значит, e^(iπ) 1=0, ч.т.д. [5:54].
Далее были шутки про пустой кошелек и прочие дела. Хэппи энд!
0:00 — Экспонента в виде ряда
0:51 — Ряды для синуса и косинуса
1:20 — Доказательство разложения e^x
4:51 — Самая красивая формула!
6:10 — Что красивого?
#Математика #Матан #Эйлер
1 view
0
0
5 months ago 00:01:24 1.2K
8 трёхочковых Кигана Мюррея против ГСВ
5 months ago 01:41:04 262
WWE NXT ()
5 months ago 01:37:27 1.2K
WWE эНэКсТи - Оригинал
5 months ago 00:00:49 24.9K
853-я шайба Овечкина в матче с «Флайерз»
5 months ago 00:27:50 1
Big MACRAME wall hanging FULL OF COLOR | Intermediate project
5 months ago 01:32:50 829
КУХНЯ ТРИАТЛЕТА. Подкаст в прямом эфире #83. Николай Трегубов и Миша Гэ
5 months ago 00:53:19 3
JOIN US FOR LIVE MEMPHIS WRESTLING:
5 months ago 00:08:59 1
Minnesota Wild vs San Jose Sharks | April 13, 2024 | Game Highlights | NHL Regular Season
5 months ago 00:00:42 29
2-й гол в большинстве Кирилла Капризова в матче против “Шаркс“
5 months ago 00:00:40 346
1-й гол в матче Кирилла Капризова против “Шаркс“
5 months ago 00:04:57 23
Tommaso Ciampa vs DJZ (Joaquin Wilde) vs Trevor Lee (Cameron Grimes) - TNA Impact ()
5 months ago 00:01:05 1
Pavel Dorofeyev’s assist on Kolesar’s goal vs Wild (12 apr 2024)
5 months ago 00:08:59 1
Minnesota Wild vs Vegas Golden Knights | April 12, 2024 | Game Highlights | NHL Regular Season
5 months ago 00:08:07 1
How Cartoon Sounds Are Made For Movies & TV Shows | Movies Insider | Insider
5 months ago 00:08:58 1
Minnesota Wild vs Colorado Avalanche | April 09, 2024 | Game Highlights | NHL Regular Season
5 months ago 02:58:56 1
All Stories - Fairy tale Compilation | 178 minutes English Stories (Reading Books)
5 months ago 00:00:32 1
Lucky Drops are here! ✨
5 months ago 00:43:43 1
The wild world of Nikita Tszyu: Talks Tim Tszyu’s title loss, dream match ups and food fantasy
5 months ago 00:57:13 2
Куда пропала ФЕРГИ? До и после The Black Eyed Peas.
5 months ago 00:10:24 853
Minnesota Wild vs. Colorado Avalanche | Apr. 09, 2024 | Game Highlights | NHL 2023-24 | Обзор матча
5 months ago 00:08:38 71
Legado del Fantasma (Cruz Del Toro, Elektra Lopez & Joaquin Wilde) vs Fallon Henley & Josh Briggs
5 months ago 00:41:39 1
JOHN RIEL CASIMERO vs JONAS SULTAN (PHILIPPINES) FULL FIGHT
5 months ago 00:08:59 1
Minnesota Wild vs Chicago Blackhawks | April 07, 2024 | Game Highlights | NHL Regular Season
5 months ago 00:04:38 1
POWERWOLF - Demons Are A Girl’s Best Friend (Official Video) | Napalm Records