Алгебра 9 класс (Урок№34 - Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.)
Видео на Дзен
Алгебра 9 класс
Урок№34 - Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Напомним, что арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d. Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Зная первый член и разность, можно найти любой член арифметической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена.
Мы выяснили, что последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Это свойство арифметической прогрессии называется её характеристическим свойством.
Более того, любой член арифметической прогрессии, равен не только среднему арифметическому своих непосредственных соседей, но и среднему арифметическому членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии. Например, 10-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го.
Обозначим сумму первых n членов арифметической прогрессии как эс энное и запишем эту сумму дважды.
Первый раз – в порядке возрастания номеров членов, во втором случае в порядке убывания.
Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна сумме первого и n-го её членов.
Число таких пар равно n. Поэтому, складывая почленно равенства 1 и 2, получаем…
Разделим обе части полученного равенства на 2 и получим формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии
Вернёмся к задаче, которую мы решали в начале урока. Найдём сумму всех трёхзначных числе, кратных восьми.
Заметим, что эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 8.
Первый член – наименьшее трёхзначное число, кратное восьми, 104.
Как известно, на 8 делится число 1000, но оно четырёхзначное. Отнимая от тысячи восемь, получим наибольшее трёхзначное число, кратное восьми, - число 992. Это n-й член данной арифметической прогрессии.
По формуле n-го члена найдём число n – номер этого члена.
Таким образом, сумма всех кратных восьми трёхзначных чисел равна сумме первых 112-ти членов данной арифметической прогрессии.
Конечно, последнее действие придётся выполнить в столбик, но это единственное трудоёмкое вычисление при сложении 112-ти трёхзначных чисел.
По полученной формуле можно находить сумму n первых членов арифметической прогрессии, если известны её первый и n-й члены и количество членов. Но далеко не всегда нам известен n -й член.
Воспользуемся формулой n – го члена арифметической прогрессии и выведем ещё одну формулу суммы – через первый член и разность арифметической прогрессии
Найдём сумму первых 97-ми чисел натурального ряда, кратных 11-ти.
Заметим, что эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом 11 и разностью 11.
Сумма первых 97-ми чисел натурального ряда, кратных 11-ти, равна сумме первых 97-ми членов этой арифметической прогрессии.
Сумма первых 20-ти членов арифметической прогрессии равна –2040, её первый член равен 2,5. Найдём её разность.
Запишем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, подставим в неё известные величины, решим полученное уравнение.
Разность арифметической прогрессии равна –11.
1 view
1
0
4 weeks ago 00:19:37 1
Ошибки при изучении математикиIКак понять математику
4 weeks ago 00:12:42 1
Разбор 19 задания с единичками из реального ЕГЭ 2020 по математике
4 weeks ago 00:09:42 1
Разбор 19 задания из реального ЕГЭ 2020 по математике
4 weeks ago 00:16:17 1
✓ Арифметическая прогрессия | ЕГЭ. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 weeks ago 00:11:59 1
✓ Несколько чисел на доске | ЕГЭ-2017. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 weeks ago 00:13:00 1
✓ Восемь карточек | ЕГЭ. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 weeks ago 00:10:25 1
Урок 12. Математическая статистика. Базовые понятия: меры центральной тенденции, частотная таблица.
4 weeks ago 00:24:49 1
ИЗИ балл на ОГЭ. Все типы задания №11 графики функций!
4 weeks ago 00:13:04 1
Почему математика после 6 класса оказывается бесполезной?
4 weeks ago 00:11:07 1
Уравнения с модулем. Разбор 22 задания из ОГЭ | Математика 9 класс | TutorOnline
4 weeks ago 00:27:46 1
ЕГЭ2024. Профильная математика. Разбираю самые обидные ошибки / Математик МГУ
4 weeks ago 02:49:19 1
Вариант #28 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2024| Математика Профиль| Оформление на 100 Баллов
4 weeks ago 00:03:38 1
✓ Реальный параметр из ЕГЭ за три минуты | ЕГЭ-2019. Задание 18. Математика. Профиль | Борис Трушин
4 weeks ago 00:19:47 1
✓ Свежий параметр | ЕГЭ-2019. Задание 18. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 weeks ago 00:14:43 1
✓ Вася и Петя решают задачи | Досрок ЕГЭ-2019. Задание 19. Математика. Профиль | Борис Трушин
4 weeks ago 00:31:22 1
✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2024. Математика. Профильный уровень. Задание 14 | Борис Трушин
4 weeks ago 00:34:48 1
✓ Самая сложная задача в ЕГЭ-2020 | Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин |
4 weeks ago 00:26:14 1
✓ Задача, которую никто не решил | ЕГЭ-2013. Задание 19. Математика. Профиль | Борис Трушин
4 weeks ago 00:31:24 1
✓ 30 чисел на доске | ЕГЭ-2017. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 weeks ago 00:28:24 1
✓ Последовательность натуральных чисел | ЕГЭ-2016. Задание 19. Математика | Борис Трушин
4 weeks ago 00:19:01 1
✓ Задуманные числа | ЕГЭ-2017. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 weeks ago 00:19:35 1
✓ Числа на доске | ЕГЭ-2018. Задание 19. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин
4 weeks ago 00:17:55 1
✓ Целые числа на доске | Демоверсия ЕГЭ-2018. Задание 19. Математика. Профиль | Борис Трушин
4 weeks ago 00:12:09 1
✓ На доске написаны числа 2 и 3 | ЕГЭ-2016. Задание 19. Математика. Профиль | Борис Трушин