Разбор задач IMO 2024 с профессором Фёдором Петровым
00:00:30 Задача 1
Найдите все действительные числа α такие, что для любого положительного целого n целое число⌊α⌋ ⌊2α⌋ · · · ⌊nα⌋кратно n. (Здесь ⌊z⌋ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее z. Например, ⌊−π⌋ = −4 и ⌊2⌋ = ⌊2,9⌋ = 2.)
00:08:02 Задача 2
Найдите все пары (a, b) положительных целых чисел, для которых существуют такие
положительные целые g и N, что НОД(a^n b, b^n a) = g для всех целых чисел n ⩾ N . (Здесь НОД(x, y) обозначает наибольший общий делитель целых чисел x и y.)
00:16:10 Задача 3
Даны бесконечная последовательность положительных целых чисел a1, a2, a3, . . . и положительное целое число N. Известно, что для любого n больше N число an равно количеству раз, которое число an−1 встречается среди a1, a2, . . . , an−1. Докажите, что хотя бы одна из последовательностей a1, a3, a5, . . . и a2, a4, a6, . . . является в конечном итоге периодической. (Последовательность b1, b2, b3, . . . называется в конечном итоге периодической, если существуют такие положительные целые числа p и M, что bm p =bm для всех m⩾M.)
00:32:15 Задача 4
Пусть ABC – треугольник, в котором AB меньше AC меньше BC. Пусть ω – вписанная в треугольник ABC окружность, а I – ее центр. Пусть X – такая точка на прямой BC, отличная от C, что прямая, проходящая через X параллельно AC, касается ω. Аналогично, пусть Y – такая точка на прямой BC, отличная от B, что прямая, проходящая через Y параллельно AB, касается ω. Пусть AI пересекает описанную около треугольника ABC окружность второй раз в точке P ̸= A. Пусть K и L – середины сторон AC и AB соответственно. Докажите, что ∠KIL ∠Y PX = 180◦.
00:53:52 Задача 5
Улитка Турбо играет на доске, имеющей 2024 ряда и 2023 столбца, в следующую игру. В 2022 клетках доски прячутся монстры. Изначально Турбо не знает, где находится какой-либо из монстров, но она знает, что в каждом ряду, кроме первого и последнего, есть ровно один монстр и что в каждом столбце находится не более одного монстра.
Турбо делает серию попыток, чтобы пройти из первого ряда в последний. При каждой попытке она может выбрать в качестве начальной любую клетку в первом ряду, а затем совершает серию перемещений из клетки в соседнюю клетку, имеющую общую сторону. (Ей разрешается возвращаться в ранее посещенные клетки.) Если она посещает клетку с монстром, то её попытка завершается, и она переносится обратно в первый ряд, чтобы начать новую попытку. Монстры не двигаются, а Турбо запоминает, есть ли в каждой посещенной ею клетке монстр. Если она достигнет любой клетки в последнем ряду, её попытка завершается и игра оканчивается.
Определите минимальное значение n такое, что у Турбо есть стратегия, которая, независимо от местонахождений монстров, гарантирует достижение последней строки за n попыток или раньше.
01:04:42 Задача 6
Пусть Q – множество всех рациональных чисел. Функция f : Q → Q называется смежной, если выполнено следующее условие: для любых x, y ∈ Q имеем f(x f(y)) = f(x) y или f(f(x) y) = x f(y). Докажите, что существует целое число c такое, что для любой смежной функции f имеется не более c различных рациональных чисел вида f (r) f (−r) для какого-то рационального r, и найдите наименьшее возможное значение c.
1 view
141
33
12 years ago 00:27:52 71
Хеджирование (разбор задач)
9 years ago 01:48:18 115
Разбор задач Зимней олимпиады «Плюс» по математике
1 year ago 00:34:37 1
Разбор задач
7 years ago 02:07:59 3
“Поведение фирмы“, разбор задач (часть 2)
6 years ago 01:51:56 591
Разбор задач регионального этапа ВсОШ по астрономии – 2019
5 years ago 01:09:33 77
СТЕРЕОМЕТРИЯ | Разбор задач | Математика ЕГЭ 2020 | Вебиум
4 years ago 02:23:45 1
JavaScript. Разбор задач
7 years ago 02:19:49 1
“Индивидуальный выбор“, разбор задач
5 years ago 01:25:18 35
Вебинар “Разбор задач по теории вероятностей“
4 years ago 02:28:47 111
Разбор задач финала вузака 2021
4 years ago 00:21:39 5
МКТ разбор задач
4 years ago 01:57:44 1
Разбор задач Статграда прошлых лет
4 years ago 00:22:59 188
Разбор задач тестовой части ПВГ
5 years ago 02:08:20 25
Физика. Разбор задач первого этапа (ОНТИ 2019-20)
4 years ago 01:25:29 37
2021 Бонусы Онлайн. Разбор задач
5 years ago 01:02:34 196
ПРОИЗВОДНЫЕ | Разбор задач | Математика ЕГЭ 2020 | Вебиум
6 years ago 01:11:34 29
Разбор чудесных задач
2 years ago 02:35:06 4
Вебинар: Разбор ключевых задач в AI
5 years ago 00:32:11 45
BioFamily | РАЗБОР ВБРОСНЫХ ЗАДАЧ
12 years ago 00:21:52 99
Основные средства по МСФО. Разбор задач. Промо-ролик
9 years ago 00:07:35 243
Обществознание. Разбор олимпиадных задач. Задача «Раздел имущества»
2 years ago 01:48:09 110
ЕГЭ 2023 по математике. Как это было? Разбор задач второй части
3 years ago 00:52:55 304
Разбор задач регионального этапа ВсОШ по астрономии – 2022