Геометрическая задача на доказательство неравенства // Сергей Фролов / Математический мирок

Из середины C отрезка AB проведён луч, не содержащий ни точки A, ни точки B. На луче отмечены точки P, Q и M, причём M — середина отрезка PQ. Докажите, что AP BQ строго больше 2CM. Заметим, что длина отрезка CM равна среднему арифметическому длин отрезков CP и CQ и докажем, что AP BQ строго больше CP и CQ. Решение задачи основано на применении теоремы косинусов для треугольников ACP и QCB. Каждое из двух полученных равенств преобразуется в неравенство посредством удаления заведомо строго положительных слагаемых из правых частей исходный равенств. Далее неравенства складываются и используется неравенство треугольника, из которого следует, что сумма модулей не меньше модуля суммы. Условие задачи взято из видеоролика, размещённого на канале “Виктор Мещеряков. О математике и себе (иногда).“