Прямоугольный треугольник, построенный на стороне квадрата как на гипотенузе // Сергей Фролов / Математический мирок

На стороне квадрата как на гипотенузе построен прямоугольный треугольник таким образом, что вершина прямого угла находится вне квадрата. Известно, что сумма катетов прямоугольного треугольника равна m. Найти расстояние от вершины прямого угла до центра квадрата, т. е. до точки пересечения его диагоналей. Соединим центр квадрата с концами гипотенузы прямоугольного треугольника. Получим, в итоге, четырёхугольник с двумя противоположными прямыми углами. Сумма противоположных углов данного четырёхугольника равна 180 градусам, а это означает, что около него можно описать окружность. Опишем окружность около четырёхугольника. Пользуясь тем, что углы, вписанные в окружность, опирающиеся на одинаковые дуги этой окружности, равны, покажем, что отрезок, соединяющий вершину прямого угла с центром квадрата, делит прямой угол исходного прямоугольного треугольника пополам. Остаётся только записать теорему косинусов для треугольников, на которые данный отрезок делит четырёхугольник и для двух равных углов этих треугольников, после чего решить полученную систему уравнений относительно искомой дины отрезка. При этом нужно воспользоваться тем, что суммы квадратов катетов двух прямоугольных треугольников, имеющих общую гипотенузу, в соответствии с теоремой Пифагора, равны.