Лекция №7. Алгебраические кривые и поверхности

Курс “Аналитическая геометрия“ Преподаватель - к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики Павел Александрович Кожевников Алгебраическая кривая на плоскости. Алгебраическая поверхность в пространстве. Порядок алгебраического множества. Описание алгебраических кривых и поверхностей первого порядка. Эллипс, гипербола и парабола. Оптические свойства. Алгебраическая кривая на плоскости. Алгебраическая поверхность в пространстве. Порядок алгебраического множества. Инвариантность порядка алгебраического множества от выбора системы координат. 00:00 - Алгебраические множества 1:00 - Определение алгебраической кривой на плоскости и алгебраической поверхности в пространстве.. 2:13 - Что такое степень (deg) многочлена? 04:20 - Описание алгебраических кривых и поверхностей первого порядка 11:50 - Свойства алгебраических множеств 12:07 - Примеры кривых второго порядка. 19:57 - О пересечении кривой и прямой. 22:05 - Доказательство, что прямая имеет с кривой либо не более n пересечений (n - порядок кривой), либо прямая полностью лежит на кривой. Не очень нравится это доказательство, не верю, что оно достаточно строгое. С прямой y = 0 кривая может иметь, например, лишь одну точку пересечения, хотя на деле их может быть n, если подобрать другой коэффициент для прямой, но как нам это аккуратно проверить и доказать? Почему их не может быть вдруг больше, чем n, при условии, что прямая и кривая не совпадают? Непонятно :( 24:47 - Доказательство, что сечение алгебраической поверхности степени n плоскостью образует алгебраические кривые порядка не более, чем n. 28:50 - Эллипс, гипербола, парабола. 30:13 - Уравнения кривых второго порядка. 39:05 - Комментарий про асимптоты (связь с матаном). 45:23 - Фокусы кривых второго порядка. 46:59 - Эксцентриситеты кривых второго порядка. 48:14 - Директрисы кривых второго порядка. 53:03 - Оптическое свойство эллипса. 54:25 - Оптическое свойство параболы. 56:27 - Свойства фокусов. 57:26 - Условие принадлежности точки эллипсу. 1:07:28 - Какое геометрическое место точек определяет эллипс? 1:09:47 - Какое геометрическое место точек определяет гипербола?