Как доказать, что полином x^8−x^5+x^2−x+1 > 0 при всех x? // Сергей Фролов / Математический мирок

Доказать, что полином x^8−x^5 x^2−x 1 положителен при всех вещественных значениях аргумента. Несложно заметить, что исходный полином можно представить в виде суммы двух полиномов: x^8−x^5 и x^2−x 1. Второй из них, являющийся квадратным трёхчленом, положителен, поскольку коэффициент перед его старшей степенью положителен, а его дискриминант отрицателен (это означает, что ветви параболы, являющейся графиком этого полинома, направлены вверх, а точек пересечения с осью абсцисс она не имеет). При этом первый полином принимает как значения разных знаков, так и нулевое значение. Идея решения состоит в том, чтобы некоторую часть второго полинома “присоединить“ к первому так , чтобы первый полином стал неотрицательным, а второй остался положительным. Для этого нам потребуется выделить полный квадрат в первом полиноме. Задача взята из книги: Б.В. Лидский, Л.В. Овсянников, А.Н. Тулайков, М.И. Шабунин, Задачи по элементарной математике, М., Физматгиз, 1963 г.