Задача о трёх квадратах // Сергей Фролов / Математический Мирок

Диагональ квадрата разбита двумя точками на три отрезка. На каждом отрезке как на диагонали построен квадрат. Известно, что сумма площадей квадратов, построенных на крайних отрезках, равна площади квадрата, построенного на среднем отрезке. Доказать, что из вершины исходного квадрата, не принадлежащей его рассматриваемой диагонали, средний отрезок виден под углом 45 градусов. Для решения задачи выразим каждую диагональ через p, q и a, где p — это сумма первой и второй диагоналей построенных квадратов, q — сумма второй и третьей диагоналей построенных квадратов, а a — сторона исходного квадрата. Приравняем квадрат второй диагонали сумме квадратов первой и третьей диагоналей. Из полученного равенства найдём простую связь между p, q и a. Используя эту связь, докажем, что треугольник, имеющий угол 45, образуемый сторонами длинами a и p, подобен треугольнику, имеющему угол 45, образуемый сторонами длиной a и q по второму признаку подобия треугольников. Пользуясь тем, что в подобных треугольниках против соответственных сторон лежат равные углы, докажем, что угол треугольника при вершине, совпадающей с вершиной квадрата, основание которого совпадает со средним отрезком, равен 45 градусам. Именно это и требовалось доказать. Ролик Бориса Трушина: