Дизайны на окружности (Максим Королев)

Математический семинар ФКН Нанесём на окружность q точек, разбивающих её на дуги равной длины и пронумеруем их числами от 0 до q-1. Возьмём некоторое целое число a, не делящееся на q, и соединим точку, имеющую номер k, с точкой номер m, где m =ak (mod q). Проделав это для всех k, мы получим рисунок из линий, который иногда называется «дизайном на окружности» или «круговым дизайном». Круговые дизайны — объекты, хорошо известные, в том числе благодаря своей эстетической привлекательности. Картинки, возникающие в ходе такой процедуры, можно реализовать в виде вещественных конструкций из нитей — такая техника называется string art, «изонить», «вышивка по картону». Кроме того, на основе таких картинок можно объяснять физические явления, с которыми мы сталкиваемся повседневно, каждый раз, как берём в руки чашку с кофе или чаем. Пусть задано число q, а радиус окружности равен (для простоты) единице. Сколько потребуется нити для реализации такой конструкции для заданного a? А что будет, если соединять точки не по «линейному» правилу k→ak (mod q), а по более сложному: k→ af(k) (mod q)? Визуальная красота, как правило, разрушается. Но можно поставить, например, тот же вопрос о поведении суммарной длины L(q,a) нити при фиксированном q и изменении a. В докладе планируется познакомить слушателей с результатами численных экспериментов, отвечающих разным арифметическим функциям f, высказать некоторые предположения и сформулировать в виде утверждений то немногое, что удаётся строго доказать. Докладчик: профессор Максим Королев, заведующий базовой кафедрой Математического института им В. А. Стеклова РАН ФКН ВШЭ. 1 марта 2024 Математический семинар ФКН: ФКН: ​​ Подписывайтесь на нас: 📍 ​​/ 📍 📍