Олимпиадная задача об иррациональных корнях полиномов с целыми коэффициентами // Сергей Фролов / Математический мирок

Рассмотрим следующую задачу (набор задач). Найдите многочлен с целыми коэффициентами a) 4-й степени, имеющий корнем число (2 scrt(3))^(1/4) (2−scrt(3))^(1/4); б) 5-й степени, имеющий корнем число (2 scrt(3))^(1/5) (2−scrt(3))^(1/5). в) Докажите существование многочлена с целыми коэффициентами степени n, имеющего корнем число (2 scrt(3))^(1/n) (2−scrt(3))^(1/n). В первых двух пунктах уравнение вида x=a b, где — первое и второе слагаемые, суммы которых являются корнями искомых многочленов, с помощью различных преобразований приводится к алгебраическому уравнению 4-й или 5-й (в зависимости от пункта) степени с целыми коэффициентами. Левые части уравнений берутся в качестве искомых многочленов. В третьем пункте с помощью метода математической индукции доказываем существование для любого натурального k полинома Q_k(x) k-й степени с целыми коэффициентами, такого, что уравнение Q_k(x)=a^k b^k имеет корень, равный a b, где a= (2 scrt(3))^(1/n) , b=(2−scrt(3))^(1/n). Если положить: k=n, то придём к уравнению Q_n(x)−4=0. В левой его части стоит полином, который мы обозначим P_n(x). Это и есть полином с целыми коэффициентами степени n, имеющий корнем число (2 scrt(3))^(1/n) (2−scrt(3))^(1/n), существование которого требовалось доказать. Имея в распоряжение рекуррентную формулу для последовательности полиномов Q, можно легко получить и рекуррентную формулу для последовательности полиномов P. С помощью этой формулы несложно найти полиномы P_6(x) и P_7(x).