Алгебра 9 класс (Урок№39 - Метод математической индукции.)

Алгебра 9 класс Урок№39 - Метод математической индукции. Мы познакомимся с методом доказательства, который называется методом математической индукции. Этим методом мы докажем несколько утверждений. Геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии. Принцип математической индукции: Утверждение верно при любом натуральном n, если выполняются два условия: утверждение верно при n = 1; из того, что утверждение верно для n = k, следует, что оно верно для n = k 1. Мы научились находить сумму большого количества чисел, кратных, например, числу 7. Мы научились находить сумму большого количества слагаемых – степеней числа 2. А чему равна сумма квадратов первых трёхсот натуральных чисел? За двести с лишним лет до нашей эры великий греческий учёный Архимед вывел формулу: сумма квадратов первых n натуральных чисел равна… По этой формуле не составит большого труда найти сумму квадратов натуральных чисел от 1 до 300. Выполнив два умножения в столбик, получим 9 миллионов 45 тысяч пятьдесят. Но как доказать, что эта формула верна для любого натурального числа n? Проверим, верна ли формула при n равном единице. В левой части одно слагаемое, оно равно единице. В правой части в числителе дроби получаем 6, дробь равна 1. При n равном единице формула верна. Теперь предположим, что формула верна при n равном k, и докажем, что она верна при n равном k 1. Во-первых, упростим правую часть равенства. В левой части воспользуемся предположением и заменим сумму первых k слагаемых дробью, потом приведём дроби к общему знаменателю и вынесем в числителе общий множитель k 1 за скобки. Выражение в скобках упростим и разложим на множители. Мы привели обе части формулы для n равного k 1 к одному и тому же виду, то есть утверждение для n равного k 1 верно. Итак, мы доказали, что если формула верна для какого-либо натурального числа k, то она верна и для следующего за ним натурального числа k 1. Так как формула верна для n равного 1, то она верна и для n равного двум. А так как она верна для n равного двум, то она верна и для следующего натурального числа n равного трём, и так далее до бесконечности. Применённый метод доказательства называется методом математической индукции. Он основан на принципе математической индукции: Утверждение верно при любом натуральном n, если выполняются два условия: Первое. Утверждение верно при n = 1. Второе. Из того, что утверждение верно для n = k следует, что оно верно для n = k 1. Докажем, что при любом натуральном n число 15n - 1 кратно 7, то есть делится на 7. При n равном единице 15n - 1 равно 14. 14 кратно семи. При n равном единице утверждение верно. Теперь предположим, что утверждение верно при n равном k, и докажем, что оно верно при n равном k 1. Выполним преобразования. В первом слагаемом есть множитель 14, поэтому оно делится на 14. Второе слагаемое делится на 14 по предположению. Поэтому и вся сумма делится на 14, то есть утверждение при n равном k 1 верно. Тогда в силу принципа математической индукции утверждение 15n-1 кратно 7 верно при любом натуральном n.