Двоичная система счисления

В последние годы в области прикладной математики, особенно в компьютерах, очень важное значение приобрела двоичная система счисления. автор двоичной арифметики в истории науки доподлинно известен: это известный немецкий математик Лейбниц, который в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную арифметику для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что “вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии “. В то время как система счисления с основанием 10 требует десяти цифр (включая нуль), для двоичной арифметики необходимо всего два символа - 0 и 1. В двоичной системе арифметические операции особенно просты. В двоичной системе не существует “таблицы сложения“, которую нужно было бы запоминать, так как “перенос в старший разряд“ начинается с 1 1 = 10 Например, сложим 2 числа 111 и 101, при сложении двух единиц получается число 10, запишем ноль, а единица пойдет в следующий столбец, опять складываем две единицы, опять получаем число 10, опять записываем 0, а единицу переносим в следующий столбец, в последнем столбце уже есть две единицы, в результате сложения которых получается число 10, прибавим к этому числу еще единицу и получим число 11, итак, в результате сложения двух чисел получается число 1100. Вычитание производится так же, как в десятичной системе, не задумываясь о том, что теперь в случае необходимости нужно “занимать“ из столбца слева 2, а не десять. В двоичной таблице умножения единственный результат, отличный от нуля, соответствует 1 1 = 1. Каких-нибудь других “табличных“ произведений, требующих запоминания, не существует, так как любое целое число больше единицы в двоичной системе по крайней мере “двузначно“. Умножение “столбиком“ выполняется без труда, так как необходимость в “переносе в старший разряд“ отпадает за исключением сложения частичных произведений при получении окончательного ответа. Однако за эту легкость приходится “платить“ большим числом знаков при умножении даже небольших чисел. В компьютерах двоичная система особенно удобна тем, что двоичные цифры соответствуют тому, что электронная система может находиться лишь в одном из двух состояний - либо “выключено“ (цепь разомкнута, двоичная цифра 0), либо “включено“ (цепь замкнута, двоичная цифра 1).