Вариант #15 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2025| Математика Профиль

Начало – 00:00 Задача 1 – 01:21 Угол ACO равен 28°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Задача 2 – 04:26 Даны векторы a ⃗ (41;0) и b ⃗ (1;-1). Найдите длину вектора a ⃗-20b ⃗. Задача 3 – 07:54 В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы равны 2/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы. Задача 4 – 11:21 В фирме такси в наличии 60 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные – жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Задача 5 – 13:37 Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 9». Задача 6 – 19:36 Найдите корень уравнения (6x-13)^2=(6x-11)^2. Задача 7 – 22:47 Найдите значение выражения (2^3,2∙6^6,2)/12^5,2 . Задача 8 – 25:30 На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? Задача 9 – 28:49 К источнику с ЭДС ε=115 В и внутренним сопротивлением r=0,6 Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой U=εR/(R r). При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 100 В? Ответ выразите в омах. Задача 10 – 33:02 Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй – 20 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 45% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде? Задача 11 – 40:42 На рисунке изображён график функции вида f(x)=ax^2 bx c. Найдите значение f(-3). Задача 12 – 46:57 Найдите точку максимума функции y=-x/(x^2 225). Задача 13 – 52:24 а) Решите уравнение √2 sin⁡(x π/4) 2sin^2 x=sin⁡x 2. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π;7π/2]. Разбор ошибок 13 – 01:03:23 Задача 15 – 01:05:44 Решите неравенство (log_0,2^2 (x 2)-log_5⁡(x^2 4x 4) 1)∙log_5⁡(x 1)≤0. Разбор ошибок 15 – 01:21:05 Задача 16 – 01:35:31 В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы: – в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; – в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 11% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 650 тысяч рублей? Разбор ошибок 16 – 01:51:25 Задача 18 – 01:55:50 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (4 cos⁡x-3-a)∙cos⁡x-2,5 cos⁡2x 1,5=0 имеет хотя бы один корень. Задача 19 – 02:12:42 Есть три коробки: в первой коробке 64 камня, во второй – 77, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся. а) Могло ли в первой коробке оказаться 64 камня, во второй – 59, в третьей – 18? б) Могло ли в третьей коробке оказаться 141 камень? в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке? Задача 17 – 02:31:34 В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые. а) Докажите, что AM=DM. б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 70°, а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC. Задача 14 – 02:48:43 В основании прямой треугольной призмы ABCA_1 B_1 C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K- середина ребра A_1 B_1, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3. а) Докажите, что KM перпендикулярно AC. б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB_1, если AB=8, AC=12 и AA_1=5.