Efficient numerical integration methods, 2021-04-28

Efficient numerical integration methods for the Cauchy problem for ODE systems with contrast structures and singularities Belov Alexander Alexandrovich , candidate of Phys. and Math. Sci., associate professor of the department Applied Informatics and Probability Theory Many problems in physics and engineering lead to stiff initial and initial-boundary value problems (reduced to ODE systems of huge dimension). Examples are reaction kinetics, cumulation, explosion, breakdown in plasma and semiconductors, selection of optimal ignition modes for thermonuclear targets, etc. Another characteristic feature of such problems is bad conditionality: the rapid increase in rounding errors greatly limits accuracy. In some of these problems, the solution has a singularity, i.e., it turns to infinity within a finite time interval. The presence of singularities is a serious difficulty for numerical calculation. In the present work, we propose a fundamentally new method for automatically selecting the step by the curvature of the integral curve in the arc length argument. These meshes are called geometrically adaptive. The method is simple, has a clear geometric meaning and significantly reduces the complexity of calculations. The optimality of this algorithm in the sense of the Hausdorff metric is proved. A calculation procedure has been developed that provides an asymptotically sharp error estimate simultaneously with the solution. The proposed step selection algorithm provides good reliability of calculations even when using explicit schemes of low orders of accuracy. Efficient formulas for the curvature of the integral curve are constructed, which make it possible to apply this algorithm with explicit Runge-Kutta schemes. Экономичные методы численного интегрирования задачи Коши для систем ОДУ с контрастными структурами и сингулярностями Белов Александр Александрович к.ф.-м.н., доцент каф. Прикладной информатики и теории вероятностей Многие проблемы физики и техники приводят к жестким начальным и начально-краевым задачам (сводящиеся к начальным задачам огромной размерности). Примерами являются кинетика реакций, кумуляция, взрыв, пробой в плазме и полупроводниках, выбор оптимальных режимов зажигания термоядерных мишеней и т.д. Другой характерной особенностью таких задач является плохая обусловленность: стремительное нарастание ошибок округления сильно ограничивает точность. В некоторых из перечисленных задач решение имеет сингулярность, то есть обращается в бесконечность за конечное время. Наличие сингулярностей представляет серьезную трудность для численного расчета. С 1970-х годов для задач Коши предлагались методы автоматического выбора шага, адаптированного к решению. Однако они не гарантировали получения заданной пользователем точности и нередко приводили к грубо ошибочным результатам (выдаваемая оценка погрешности могла отличаться от фактической точности на 9-10 порядков). В данной работе предложен принципиально новый метод автоматического выбора шага по кривизне интегральной кривой в аргументе длина дуги, названный геометрически-адаптивным. Он прост, имеет наглядный геометрический смысл и значительно снижает трудоемкость вычислений. Доказана оптимальность этого алгоритма в смысле метрики Хаусдорфа. Разработана процедура расчета, позволяющая одновременно с решением он вычисляет асимптотически точное значение погрешности. Предложенный алгоритм выбора шага обеспечивает хорошую надежность расчетов даже при использовании явных схем невысоких порядков точности. Построены экономичные формулы для кривизны интегральной кривой, позволяющие применять этот алгоритм с явными схемами Рунге-Кутты. Для задачи кинетики реакций традиционно использовались трудоемкие неявные схемы. В данной работе предложена специализированная явная схема, имеющая достаточную надежность и отличающаяся очень малой трудоемкостью. Показано, что эта схема превосходит известные схемы по точности и надежности. Для задач Коши с сингулярностями решения предложен новый способ численного обнаружения и исследования ближайшей особенности, основанный на использовании длины дуги интегральной кривой в качестве аргумента. Это кардинально повышает надежность и точность исследования. Метод позволяет не только определить тип особенности, но и вычислить ее порядок и момент достижения с гарантированной точностью. Конкретные формулы метода получены для полюсов степенного и логарифмического типов и для произведения степени на логарифм. Для задач Коши со множественными полюсами целого порядка предложен метод инверсной функции. Он позволяет продолжать решение за полюс, вычисляя само решение и положение полюса с высокой точностью вплоть до ошибок компьютерного округления.