Системы корней, матрицы Картана, алгебры Ли и симметрии уравнений в частных производных - Миллионщиков Дмитрий Владимирович - 1

«Математическая весна» – ежегодная студенческая школа-конференция, проводимая в Нижнем Новгороде Лектор: Миллионщиков Дмитрий Владимирович, механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва Абстрактной системой корней в математике называется конечный набор векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющий определенным условиям симметрии. Такие симметричные наборы векторов играют фундаментальную роль в математике и математической физике. На рисунке изображен пример такой корневой системы G_2. Матрица Картана – это целочисленная квадратная матрица, удовлетворяющая ряду просто формулируемых требований. В частности, у нее стоят двойки по диагонали, а внедиагональные элементы неположительны (это не все условия!). Каждой абстрактной системе корней можно сопоставить матрицу Картана. Например, матрица 2 −1 −3 2 является матрицей Картана системы G2. Матрицы Картана также играют фундаментальную роль в современной математике. Достаточно упомянуть классификацию простых алгебр Ли. Напомним, что алгеброй Ли называется векторное пространство V вместе с билинейной операцией “коммутатор, скобка, которая должна быть кососимметричной и удовлетворять тождеству Якоби. Другим примером является свободная алгебра Ли L(a, b), порожденная двумя элементами a и b. Свободная алгебра Ли, как и свободная группа, имеет самый быстрый рост. У нее нет других соотношений, кроме тождества Якоби. Но есть алгебры Ли, у которых есть еще соотношения и такие алгебры Ли могут расти медленно. В своем миникурсе я попробую рассказать: как системы корней связаны с матрицами Картана (лекция 1); что как с помощью матриц Картана можно строить медленно растущие алгебры Ли (лекция 2); как матрицы Картана связаны с уравнениями в частных производных вида u_{xy} = f(u), где f(u) – это некоторая фиксированная функция одной переменной u, а u = u(x, y) – неизвестная функция двух переменных x, y (лекция 3). #математическая_весна #ВШЭ #математика #алгебры_Ли #уравнения_в_чатсных_производных