2024-05-08, Семинар Математическое моделирование

Разностные схемы с экспоненциальной сходимостью Белов Александр Александрович Кафедра математического моделирования и искусственного интеллекта, РУДН Традиционные методы численного анализа основаны на полиномиальной интерполяции сеточной функции. Например, классические формулы разделенных разностей основаны на интерполяционном полиноме Ньютона, квадратура трапеций - на линейной интерполяции, квадратура Симпсона - на интерполяции параболой и т.п. В общем случае для гладких непериодических функций погрешность указанных сеточных формул убывает как некоторая степень шага. Такую сходимость называют степенной. Полиномиальная интерполяция используется при составлении классических разностных схем для уравнений математической физики. Например, в методе конечных разностей непосредственно заменяют производные и интегралы соответствующими разностными формулами. В методе конечных элементов приближают решение линейной комбинацией кусочно-полиномиальных финитных функций. Поэтому для достаточно гладких непериодических решений сходимость классических разностных методов также является степенной. В данной работе предлагается принципиально новый класс разностных методов, обладающих не степенной, а экспоненциальной сходимостью. При уменьшении шага сетки вдвое число верных знаков в решении примерно удваивается. Такая сходимость кардинально быстрее традиционной степенной. Типичный выигрыш по точности составляет от 2-3 порядков для плохо обусловленных задач до 10 порядков для хорошо обусловленных. Предлагаемый подход основан на представлении искомой функции, ее производных и первообразных интегралами Коши по замкнутому контуру на комплексной плоскости. Для этих интегралов записывается сеточная квадратура трапеций. В силу периодичности подынтегральной функции такая квадратура сходится по экспоненциальному закону. То же верно для разностных схем на ее основе. Описанный подход реализован для важнейших классов задач математической физики. Среди них краевые задачи и задачи на собственные значения для ОДУ, задачи Коши для систем ОДУ, краевые задачи для эллиптических уравнений, начально-краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений.